黑色与红色的算筹在一张方桌上交错排列，汉代数学家刘徽正凝视着这些代表正数与负数的算筹，试图解开一道复杂的粮谷分配问题。

“两算得失相反，要令正负以名之。”公元3世纪，中国数学家刘徽在注解《九章算术》时写下了这句关于正负数定义的名言。在他面前，红色算筹代表正数，黑色算筹代表负数，这些简单却巧妙的工具正在解决一个包含负数的线性方程组问题。

此时距离欧洲数学家笛卡尔为负数赋予几何意义并使其获得广泛接受，还有整整14个世纪。

一、方程的起源

中国古代的“方程”概念与今天稍有不同，它特指线性方程组而非单个等式。这一术语最早见于《九章算术》第八章“方程”。

书中刘徽注解说：“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”这意味着有几个未知数就需要列出几个等式，而这些等式用算筹并列成行时，恰好形成一个方形阵列，因而得名“方程”。

《九章算术》成书于公元前2世纪至公元1世纪之间，其中方程章包含了18个实际应用题，涉及粮谷分配、牲畜交易、工程计算等生活场景。

这些问题都通过建立和求解线性方程组来解决，体现了中国古代数学 “寓理于算” 的鲜明特点。

二、负数的诞生与应用

负数在中国古代数学中的出现，直接源于解方程组的实际需要。《九章算术》方程章第三题明确提出了正负术，这是因为在解方程组的消元过程中，不可避免地会出现较小数减较大数的情况。

刘徽深刻地认识到这一点：“今两算得失相反，要令正负以名之。”

书中对负数的实际意义给出了明确解释：在商业交易中，“卖”（收入钱）为正，“买”（付出钱）为负；在财产统计中，“余钱”为正，“不足钱”为负；在粮谷管理中，“益实”（增加粮谷）为正，“损实”（减少粮谷）为负。

这些定义使负数从纯粹的数学概念转化为具有实际意义的工具。

为了在计算中区分正负数，中国古代数学家发明了巧妙的表示方法：红筹代表正数，黑筹代表负数。如果只有一种颜色的算筹，则将算筹正放表示正数，斜放表示负数。

宋代以后，笔算逐渐普及，数学家们又发明了用红色数码表示正数、黑色数码表示负数的方法，甚至在个位数上加斜划来表示负数。

三、正负术的完整法则

《九章算术》不仅引入了负数概念，还系统地建立了正负数的加减运算法则，即“正负术”。原文记载：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”

这八句话构成了完整的正负数加减法则：前四句是减法法则，后四句是加法法则。

以现代语言解读，“同名相除，异名相益”意味着同号两数相减时，绝对值相减；异号两数相减时，绝对值相加。“正无入负之，负无入正之”则解释了零与正负数的运算关系：零减正数得负数，零减负数得正数。

这些法则虽然以古代语言表达，但已经涵盖了现代正负数加减运算的核心规则。东汉科学家刘洪进一步将这些规则应用于历法计算，在《乾象历》中将正负术表述得更为清晰：“强正，弱负...同名相从，异名相消。”

书中还写道“凡正负，所以记其同异，使二品互相取而已矣。言负者未必负于少，言正者未必正于多。故每一行之中，虽复赤黑异算无伤。然则可得使头位常相与异名，此条之实兼通矣。遂以二条反复一率，观其每与上下互相取位，则随算而言耳，犹一术也。又本设诸行，欲因减数以相去耳，故其多少无限，令上下相命而已。若以正负相减，如数有旧增法者，每行可均之，不但数物左右之也。此注皆不分晓，当由传写失真，后人又妄加改窜，遂不可通。”

四、方程与负数理论的演进

从汉代到宋元时期，中国古代方程理论经历了显著发展。唐代数学家王孝通在《缉古算经》中成功解决了大规模土方工程中提出的三次方程求正根问题，将方程理论推向新的高度。

这一成就标志着中国数学家已经能够处理更为复杂的代数方程。

宋元时期是中国古代数学的高峰，“天元术”的创立是这一时期的标志性成就。天元术的核心是 “立天元一”，相当于现代数学中“设未知数x”的思想。

李冶的《测圆海镜》详细阐述了这一方法，使高次方程的建立和求解更加系统化。

随后，数学家们进一步将天元术发展为“四元术”，能够处理多达四个未知数的高次方程组。朱世杰的《四元玉鉴》将这一理论推向极致，代表了当时世界多元高次方程组研究的最高水平。

与此同时，负数的应用也更加成熟。宋代数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”，能够求解一元高次方程的正根。

他的工作为数值解多项式方程奠定了重要基础，展示了负数在中国古代数学中的深入应用。

五、国际比较与历史地位

将中国古代对负数与方程的研究置于全球数学发展史中考察，更能彰显其历史意义。根据史料记载，印度数学家婆罗摩笈多在公元628年左右才开始研究方程，并给出了方程ax+by=c的一般解。

直到公元1150年，印度数学家巴土卡洛才首次明确提及负数。

而欧洲对负数的接受更为缓慢。16世纪法国数学家韦达在代数方面贡献卓著，却极力回避负数，并将负根舍去。17世纪的数学家帕斯卡甚至认为“从0减去4纯粹是胡说”。

直到笛卡尔创立坐标系，为负数提供几何解释后，负数才在欧洲逐渐获得认可。

通过对比不难发现，中国古代数学家对负数的系统研究和应用，比印度早五百年以上，比欧洲早近一千五百年。这种领先不仅体现在时间上，更体现在理论的系统性和应用的广泛性上。

六、数学智慧的传承与影响

中国古代数学中方程与负数理论的发展，对世界数学产生了深远影响。负数概念通过阿拉伯学者的著作传入欧洲，虽然欧洲数学家最初难以接受这一“比没有还少”的概念，但它最终成为现代数学不可或缺的组成部分。

这一翻译精准把握了中西数学概念的对应关系，也反映了中国传统数学智慧的生命力。

从《九章算术》的线性方程组，到宋元时期的天元术、四元术，中国古代数学家建立了一套独特的代数思维和算法体系。

这套体系以算筹为工具，以实际应用为导向，以算法程序为核心，与古希腊以几何为中心的数学传统形成了鲜明对比。

公元174年，东汉天文学家刘洪在《乾象历》中运用正负术进行精密历法计算时，那些代表负数的黑色算筹在历算师手中排列组合。

几个房间之外，一群算学馆的学生正在背诵“同名相除，异名相益”的正负术法则，这些知识将随着科举考试中的明算科一同传承下去。

而在万里之外的欧洲，还要等待笛卡尔坐标系出现，负数才能找到自己的立足之地。