2025-10-11 14:22

发布于：北京市

机器之心报道

机器之心编辑部

说起对 AI 的使用，著名数学家陶哲轩可谓是最具代表性的一位。

这位菲尔兹奖得主，不仅在数学领域不断拓展边界，如今也积极尝试与 AI 协作，探索人工智能在数学研究中的真正潜力。

他最近使用 ChatGPT-5 Pro 挑战一个自己并不熟悉的开放问题，曲率有界的球面（Sphere with bounded curvature），并在过程中详细记录了 AI 在不同层面上带来的帮助与局限。

虽然问题本身依然没有解决，但陶哲轩表示自己使用 AI 工具的感悟已经比以前深入得多：要评估一个工具的价值，必须从多个层面来衡量。

简单来说：

接下来，我们看陶哲轩的研究过程。

「Sphere with bounded curvature」涉及这样一个问题：

在三维欧几里得空间 R^3 中，若一个光滑沉浸球面的两个主曲率的绝对值都不超过 1，那么它所包围的体积是否至少不小于单位圆球的体积？

在陶哲轩看来，这更像是一个变分问题，于是他将这个问题分成两个部分来研究：

陶哲轩表示由于自己对这个问题缺乏足够的几何直觉，加上手头大多数分析工具主要适用于微扰情形，他推测问题的关键或许正隐藏在这一部分，于是决定将主要精力集中在微扰区的研究上。

此前，有评论指出该问题的凸面情形过于简单，缺乏研究意义。于是，陶哲轩决定将注意力转向一个更具一般性的类别星形（star-shaped）对象。

他当时猜想，也许可以将问题的假设与结论都用曲面上的积分形式来表达，然后借助一些积分不等式来推进证明。然而，由于自己在微分几何方面的知识已较为生疏，他便请 AI 代为进行相关计算。

令他颇感意外的是，AI 不仅准确计算出了所有所需量，甚至还给出了星形情形下的完整证明。它利用多种积分恒等式和不等式对问题进行了推导，其中有一些陶哲轩十分熟悉，例如斯托克斯定理（Stokes’ theorem）、Willmore 不等式 / Gauss–Bonnet 定理；但也引入了他此前从未接触过的工具，如 Minkowski 第一积分公式（Minkowski’s first integral formula）。

在综合这些不等式后，AI 给出的星形情形证明竟然只需一行推导即可完成。

这一结果让陶哲轩感到十分震撼，但他依然选择亲自验证 AI 给出的证明步骤。经过查阅资料，他发现网上虽然有不少关于 Minkowski 公式的重述，却鲜有完整的证明过程。于是，他再次向 AI 求助。AI 随即提供了两个独立且令人信服的证明版本：一个基于陶哲轩原本设想的散度定理（divergence theorem） 方法，另一个则采用了他此前未曾考虑过的流方法（flow method）。

验证完成后，陶哲轩发现该推理进一步揭示了一个有趣的结论：标准圆球是唯一的极小化解，并且当曲面偏离圆球形状时，其所包围的体积反而增大。这个发现令他深受鼓舞。随后，他决定让 AI 进一步分析「almost round」的情形，即平均曲率接近 1 的状况。他计划将此问题视为一个微扰型椭圆偏微分方程（elliptic PDE）问题来研究，借助椭圆正则性与强制性估计等工具，尝试完善对这一特例的证明。

AI 在这一阶段的表现同样出色。它准确地推导出：如果平均曲率足够接近 1，那么通过一个椭圆型强制性估计，确实可以证明该定理成立。更令人惊讶的是，AI 还主动指出，这一结论其实并非新的发现，因为平均曲率接近 1 这一假设本身就隐含了星形性（star-shapedness）的条件！

当然，AI 在处理中也并非完美。它在估计一个微扰非线性项时出现了轻微误差，不过这种错误并不严重，大致相当于一位非线性偏微分方程（nonlinear PDE）专家在初步推导时可能犯下的常见失误。

在陶哲轩看来，这一结果更像是 PDE 理论中的一个小数据（small data）情形，即问题在小范围内可控，但大数据（large data）情形仍未解决。结合问题的椭圆特性与曲率有界性，他推测整体上可能具有足够的紧致性，从而可以将问题转化为一个有限但庞大的数值 PDE 计算问题。

他将这一想法告诉 AI，AI 也表示认可，并提供了一个可行的数值方案轮廓。然而，这种方法本质上是一种暴力搜索，需要对所有可能的曲面形状进行穷尽式计算，既繁琐又缺乏理论启发性。

在小尺度上，也就是完成具体计算、推导和验证等任务时，AI 的表现依然十分出色。除了极少数小错误外，它提供了若干实用且文献中确有记载的证明。

不过，随着研究的推进，陶哲轩意识到，若要进一步取得实质性突破，就需要真正的微分几何专家介入，以避免陷入冗长乏味的暴力枚举计算。于是，他决定先将当前得到的关键推理与结果整理成文章，并将其发布在 MathOverflow 上，以便吸引更多专家的讨论。

发布之后，他注意到在原问题的评论区中，有人指出该问题的二维版本其实早已被解决，这正是著名的 Pestov–Ionin 定理，甚至在维基百科上就有独立的条目。当陶哲轩点开页面并看到附图时，他才惊讶地发现，自己的直觉其实相当有偏差。

他原本假设值得关注的主要是那些 nearly round 的集合；然而图中的例子却展示了另一类极端情形：一些形状相对圆润的部分，被细长的管状结构相互连接，形成整体上远离圆球但仍满足条件的曲面。这一发现让他意识到，问题的难点并不在微小偏差的分析上，而在于如何理解那些极端非圆的几何形态。

在对比新的直觉与自己此前采用的研究策略时，陶哲轩意识到，自己曾犯下一个关键性假设错误，他默认沉浸球面的内径是有界的，并在强制性分析中隐含使用了这一前提。事实上，他原本设想的数值方法，也许能在给定直径范围内的情形下于有限时间内求解问题，但对于一般情形则无能为力。

值得注意的是，AI 在这一阶段并未指出这一漏洞，反而表现出典型的过度认同式行为，几乎赞同陶哲轩提出的所有思路。因此，在中尺度层面，即整体策略制定方面，AI 的帮助并不大。它在无意中强化了陶哲轩对问题的错误直觉，而非挑战或纠正。

不过，这次反思让陶哲轩对问题的核心难点有了更清晰的认识，真正需要应对的难题，是那些极度偏离圆形的曲面。这些曲面往往包含非常细长的圆柱、薄片或其他瘦长结构，它们在体积上贡献甚微，却能显著拉伸几何结构。由此，他意识到自己原先依赖的那些方法在这里并不适用。

进一步的阅读使他了解到，星形情形实际上是问题中最容易的一种特殊情形。该部分的二维版本曾在 Pankrashkin 的论文中出现，而三维的替代性处理方式则出现在 Qiu 的最新论文中。

最终，陶哲轩总结认为，这个问题超出了他现有数学工具箱的能力范围，目前依然是一个开放问题。不过，从大尺度的角度来看，也就是在加深对问题结构和难点的理解层面上，AI 的使用仍然是有益的。虽然这种帮助主要是间接的，但它让他能更快速地探索、验证并舍弃那些不合适的思路；同时，他也因此学到了若干此前并不了解的微分几何知识。

陶哲轩还将这次经历与自己早前的另一场实验进行了比较。在那次实验中，他对问题的结果已有较强直觉，因此更容易判断 AI 的正确性。而在这次研究中，AI 的表现则更具创造性，提出了他此前未曾想到的思路，但也让人更难以信任和引导其朝有效方向推进。

他最后总结道：在自己专业领域之外与 AI 协作，确实有探索价值，但必须保持谨慎与情境意识，否则很容易被似是而非的直觉所误导。

参考链接：https://mathstodon.xyz/@tao