性格迥异的两位天才，在同一数学领域分别开疆拓土，最终引发了一场跨越二十年的学术纷争。
1619年，一个寒冷的冬日，笛卡尔躺在床头静思。这位年轻的法国人产生了一个革命性的想法：用代数方程来描述几何图形。与此同时，在法国南部，费马也在独立研究着类似的问题，他试图恢复古希腊数学家阿波罗尼奥斯失传的著作《论平面轨迹》。
两位天才各自耕耘，却不知彼此的工作将引发一场数学史上著名的优先权之争。当1637年笛卡尔发表《方法论》及其附录《几何学》时，他可能没想到，这场学术冲突的序幕就此拉开。
01 学术之争的导火索
笛卡尔的《几何学》作为《方法论》的三个附录之一问世，这部著作展现了他将方程和曲线联系起来的创新方法。笛卡尔建立了一种坐标系统，将点和曲线放在同一框架中研究，通过解方程组的公共根来寻找曲线交点。
他还引入了一套符号系统：用字母表开头的小写字母表示常数，字母表末尾的小写字母表示未知数。这一符号系统为后来的数学表达奠定了基础。
费马早在1629年就已经完成了《平面和立体的轨迹引论》，但这部著作直到1679年才正式发表。费马在书中清晰地阐述了解析几何原理：“只要在最后的方程中出现两个未知量，我们就有一条轨迹，这两个量之一的末端描绘出一条直线或曲线。”
当费马看到笛卡尔的《几何学》后，他对其中没有涉及最大值与最小值研究感到惊讶，于是将自己的研究成果寄给了梅森神父。这场交流成为了争议的导火索。
02 性格迥异的两位天才
笛卡尔是“一位杰出的近代哲学家，近代生物学的奠基人，第一流的物理学家，但只偶然是个数学家”。他性格暴躁易怒，出言刻薄，在任何场合都乐意争论。
费马则完全不同。这位业余数学家（他的本职是律师）内敛沉稳，面对质疑时常常不做详细说明，这让当时的同行颇为不悦。他自称更愿意探索确定性的真理，而不愿花费时间在辩论和虚名上。
这种性格差异也反映在他们的学术风格上。笛卡尔的方法更加系统化和普遍适用，甚至适用于超越曲线。而费马的工作则更侧重于具体问题，尤其是恢复古希腊的几何学遗产。
笛卡尔对费马的成果不以为然，甚至指责费马的方法缺乏严格推导，更直言费马的声誉“主要来自两个幸运的猜想”。这样的评论极易引起费马及其追随者的怒火。
03 争论的扩大与升级
这场个人之间的争论很快演变为科学界的阵营对立。罗贝瓦尔和帕斯卡站在了费马一边，而克劳德·麦多治和吉拉德·德扎格则支持笛卡尔。
争论的焦点在于谁最先发现坐标几何的基本原理。费马的工作更接近现代解析几何的方法，他给出了直线、圆和其他圆锥曲线方程的具体形式。而笛卡尔的符号系统则更为现代化，他的方法具有更广泛的适用潜力。
笛卡尔在《几何学》中讨论的全是初等几何的作图问题，这些都是从古希腊起一直在研究的。他的新颖之处在于方法——将几何问题转化为代数问题，从而解决古希腊几何中每个证明都需要奇妙想法的局限。
费马则从不同角度处理问题，他甚至研究了三维解析几何的基本思想，在1643年的一封信中简短描述了三维解析几何的构想。
04 解析几何的核心思想
解析几何的基本思想是在平面中引入坐标，建立坐标系，然后将一个代数方程与平面上的曲线对应起来。几何问题可以转化为代数问题，反过来，通过代数问题也能发现新的几何结论。
这种数与形的结合，彻底改变了数学的研究方式。笛卡尔曾表达他对数学的看法：“我尤其喜欢数学，因为它们说理时的确定和明晰。”但他认为传统的几何和代数都有缺陷——几何过于抽象，代数则过于依赖公式。
费马的工作更强调轨迹的方程表示，他给出了许多圆锥曲线方程的现代形式。值得注意的是，两位创始人最初使用的都是斜坐标系，仅把直角坐标系作为特殊情况。历史事实是，笛卡尔从未使用过直角坐标系，尽管现在常被称为“笛卡尔坐标系”。
05 争论的结局与遗产
1650年，笛卡尔在瑞典斯德哥尔摩去世，结束了两人长达二十年的争论。但费马的“伤痛”并未随之消失。
17世纪50年代末，笛卡尔的忠实拥趸克劳德·克雷色列尔在编辑笛卡尔的书信集时，请求费马提供希望编入的信件抄本。费马借此机会回了一封长信，试图恢复自己的名誉，但效果并不显著。
尽管存在争议，但公正的看法是，解析几何的发明应归功于两人独立的工作。他们的方法和侧重点不同，但共同奠定了解析几何的基础。
斯科特认为，用方程表示曲线的思想应归功于费马，但笛卡尔的方法更具普适性。这种情形类似于牛顿和莱布尼茨关于微积分发明权的争论。
解析几何的出现为微积分的诞生奠定了基础。可以说，没有解析几何的预先发展，微分学和积分学是难以想象的。
笛卡尔和费马之间的争论持续了二十年之久，但最终历史给予了两人公正的评价。如今，他们被共同誉为“解析几何之父”。
在17世纪的科学界，梅森神父的家成为顶尖数学家的聚会场所，他的通信网络充当了科学期刊的作用。假如当时有现代的科学交流渠道，或许这两位天才能够更早理解彼此的工作，避免这场不幸的优先权之争。
解析几何的诞生不仅是数学史上的里程碑，也告诉我们：科学进步往往是多人独立或集体智慧的结晶，而非单一个体的功劳。